Question

已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值.

Answer 1

（1）椭圆C方程是；（2）G的横坐标的值为8.

试题分析：（1）由，又点在椭圆上，所以，这样便得一方程组，解这个方程组求出a、b的值，即可得椭圆C的方程；（2）首先考虑直线MN垂直于轴的情况，易得此时交点为，由此可知，点G的横坐标应当为8.当直线MN不垂直轴时，设直线MN：，.由A、N、G三点共线有，由A、N、G三点共线有，有，即，化简，当时化简得.接下来联立直线MN与椭圆方程再用韦达定理代入此等式验证即可.
（1）由，又点在椭圆上，所以解得，则椭圆C方程是；                   .3分
（2）当直线MN垂直于轴，交点为，
由题知直线AN：，直线MB：，交点     .5分
当直线MN不垂直轴时，设直线MN：，
联立直线MN与椭圆方程得
，        .7分
因为，由A、N、G三点共线有
同理，由A、N、G三点共线有
有，即，化简，验证当时化简得带入韦达定理恒成立，因此G的横坐标的值为8.   13分