Question

如图，椭圆的焦点在x轴上，左右顶点分别为，上顶点为B，抛物线分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，与相交于直线上一点P.
（1）求椭圆C及抛物线的方程；
（2）若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点，求的最小值．

Answer 1

（1）椭圆C:，抛物线C₁：抛物线C₂：；（2）.

试题分析：(1)由题意可得A（a，0），B（0，），而抛物线C₁，C₂分别是以A、B为焦点，∴可求得C₂的解析式：，设C₁的解析式为，再由C₁与C₂的交点在直线y=x上，；(2)直线OP的斜率为，所以直线的斜率为，设直线方程为，
设M（）、N（），将直线方程与椭圆方程联立，利用解析几何中处理直线与圆锥曲线中常用的“设而不求”思想，可以得到,结合韦达定理，即可得到的最值.
（1）由题意可得A（a，0），B（0，），故抛物线C₁的方程可设为，C₂的方程为    1分
由  得    3分
∴椭圆C:，抛物线C₁：抛物线C₂： 5分；                              （2）由（1）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为，设直线方程为
由，整理得
设M（）、N（），则    7分
因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以
解得    8分
，
∵，
∴  11分
∵，所以当时，取得最小值，
其最小值等于    13分