Question

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE=2，AD=4，AA₁=8．
（1）求直线A₁E与平面AA₁DD₁所成角的正弦值；
（2）求证：AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁﹣ED﹣F的余弦角．

Answer 1

解：（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，
依题意得D（0，4，0），F（2，4，2），A₁（0，0，8），E（2，3，0）
在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，是平面A₁ADD₁的一个法向量，
∴=（2，0，0），=（2，3，﹣8）
∴cos＜，＞==
故直线A₁E与平面AA₁DD₁所成角的正弦值为
（2）证明：易知 =（2，4，2），=（﹣2，﹣3，8），=（﹣2，1，0），
于是 ·=0，·=0，
因此AF⊥A₁E，AF⊥ED，
又A₁E∩ED=E，所以AF⊥平面A₁ED．
（3）设平面EFD的法向量 =（x，y，z）
则 ，即
不妨令X=1，可得 =（1，2，﹣1）
由（2）可知，为平面A₁ED的一个法向量．
于是cos ==，
所以二面角A₁﹣ED﹣F的余弦值为