Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=

2

，AC=BC=1，∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求点P到平面ABC的距离；
（Ⅲ）已知点E在线段PB上，且BE=1，求EC与平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据D为AB的中点，且AC=BC得到AB⊥CD；同理有AB⊥AD，可证AB⊥平面PDC，即可得到平面PDC⊥平面ABC；
（Ⅱ）延长CD，过点P作PF⊥CD于F，则PF⊥平面ABC，得到PF的长度就为点P到平面ABC的距离；然后在Rt△PFD中求出PF的长度即可；
（Ⅲ）先根据PF⊥平面ABC，得到平面PFB⊥平面ABC以及EG⊥平面ABC；得到∠ECG为EC与平面ABC所成的角；然后通过求各边边长即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵D为AB的中点，且AC=BC，∴AB⊥CD，
同理，在△PAB中有AB⊥AD，而AD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，
∴平面PDC⊥平面ABC．（5分）
（Ⅱ）延长CD，过点P作PF⊥CD于F，则PF⊥平面ABC．
即PF的长度就为点P到平面ABC的距离．
由已知，可得在△PDC中，PD=

6

2

，DC=

2

2

，PC=

3

，
则cos∠PDC=-

3

3

，∴sin∠PDF=

6

3

，∴Rt△PFD中，PF=1．（9分）
（Ⅲ）过E作EG⊥BF于G，连接CG，
由（2）知PF⊥平面ABC，∴平面PFB⊥平面ABC，
∴EG⊥平面ABC，
即∠ECG为EC与平面ABC所成的角
Rt△PFB中，BF=1，PB=

2

，∴∠PBF=

π

4

，
又∵BE=1，∴Rt△EGB中，EG=

2

2

，
又Rt△EBC中，EC=

2

，∴Rt△EGC中，∠ECG=

π

6

即EC与平面ABC所成的角为

π

6

．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的运用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．