题目内容
已知向量
=(2sinx，2cosx)，
=(
cosx，cosx)，f(x)=
•
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
，把所得到的图象再向左平移
单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，
]上的最小值．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 8 |
分析：（1）利用向量的坐标运算可求得f（x）=
•
-1=2sin（2x+
），从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得y=g（x）的表达式，从而可求得在区间[0，
]上的最小值．
| m |
| n |
| π |
| 6 |
（2）利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得y=g（x）的表达式，从而可求得在区间[0，
| π |
| 8 |
解答：解：（1）依题意得，f（x）=
•
-1
=
sin2x+cos2x+1-1
=2sin（2x+
），
∴函数f（x）的最小正周期T=
=π，
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z）得：，
kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
，可得y=2sin（x+
），把所得到的y=2sin（x+
）的图象再向左平移
单位，
即得g（x）=2sin[（x+
）+
]=2sin（x+
）；又0≤x≤
，
∴
≤x+
≤
，
∴g（x）min=2sin
=
．
| m |
| n |
=
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
即得g（x）=2sin[（x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 8 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 11π |
| 24 |
∴g（x）min=2sin
| π |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，是三角中的综合题，属于中档题．
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