Question

已知向量

m

=(2sinx，2cosx)，

n

=(

3

cosx，cosx)，f(x)=

m

•

n

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算可求得f（x）=

m

•

n

-1=2sin（2x+

π

6

），从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得y=g（x）的表达式，从而可求得在区间[0，

π

8

]上的最小值．

解答：解：（1）依题意得，f（x）=

m

•

n

-1
=

3

sin2x+cos2x+1-1
=2sin（2x+

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：，
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的

1

2

，可得y=2sin（x+

π

6

），把所得到的y=2sin（x+

π

6

）的图象再向左平移

π

6

单位，
即得g（x）=2sin[（x+

π

6

）+

π

6

]=2sin（x+

π

3

）；又0≤x≤

π

8

，
∴

π

3

≤x+

π

3

≤

11π

24

，
∴g（x）_min=2sin

π

3

=

3

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，是三角中的综合题，属于中档题．