Question

已知向量

m

=(-2sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，2cosx)，函数f(x)=1-

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期； 
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间；
（3）说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析：（1）根据降幂公式和和角公式，把f（x）化成正弦型函数再求最小正周期
（2）结合正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间；
（3）利用左加右减，与伸缩变换的原则，直接说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过变换而得到．

解答：解：（1）∵

m

=(-2sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，2cosx)，
f(x)=1-

m

•

n

=1-2

3

sinxcosx+2cos²x=2sin（2x-

π

6

）    
所以函数的正确为

2π

2

=π；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，
解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，…（6分）
∵取k=0和1且x∈[0，π]，得0≤x≤

π

3

和

5π

6

≤x≤π，
∴f（x）的单调递增区间为[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．
（3）将g（x）=sinx的图象向右平移

π

6

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
最后把所得各点的纵坐标缩短为原来的

1

2

（横坐标不变），
得到f（x）=2sin（2x-

π

6

）的图象．

点评：本题综合考查三角函数的性质，要求熟练掌握正弦函数的性质，同时考查向量的数量积和整体代换思想．是三角函数和向量的交汇题型．属简单题