Question

（2012•香洲区模拟）已知向量

m

=(-2sinx，-1)，

n

=(-cosx，cos2x)，定义f（x）=

m

•

n

（1）求函数f（x）的表达式，并求其单调增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积，二倍角的三角函数求函数f（x）的表达式，通过正弦函数的单调增区间求其单调增区间；
（2）利用f（A）=1，求出A的值，利用bc=8，通过△ABC的面积公式求解即可．

解答：解：（1）因为已知向量

m

=(-2sinx，-1)，

n

=(-cosx，cos2x)，
f（x）=

m

•

n

=2sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）…（3分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

．
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．…（6分）
（2）∵f（A）=1，
∴

2

sin（2A-

π

4

）=1，
∴2A-

π

4

=2Kπ+

π

4

∴A=kπ+

π

4

，又△ABC为锐角三角形，
则A=

π

4

，又bc=8，
则△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×

2

2

=2

2

．…（12分）

点评：题考查了平面向量的数量积运算，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．