Question

已知向量

m

=(2sinx-cosx，sinx)，

n

=(cosx-sinx，0)，且函数f(x)=(

m

+2

n

)•

m．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）向左平移

π

4

个单位得到函数g（x），求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

m

+2

n

的坐标，再根据函数f(x)=(

m

+2

n

)•

m

，利用两个向量数量积公式和三角函数的恒等变换求得函数的解析式为

2

sin（2x-

π

4

），由此求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=

2

sin（2x+

π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z可得 x的范围，即可求得函数的增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

+2

n

=（cosx，sinx），
∴函数f(x)=(

m

+2

n

)•

m

=（cosx，sinx）•（2sinx-cosx，sinx）=2sinxcosx-cos²x+sin²x=

2

sin（2x-

π

4

），
函数f(x)=(

m

+2

n

)•

m

 的最小正周期等于

2π

2

=π．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

4

个单位得到函数y=

2

sin[2（x+

π

4

）-

π

4

]=

2

sin（2x+

π

4

）的图象，故 g（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z可得  kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量数量积公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．