题目内容
16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的相邻两对称轴间的距离等于$\frac{π}{2}$．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且f（A）=1，$a=\sqrt{3}$，b+c=3．求△ABC的面积．
分析 （Ⅰ）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可得函数解析式为f（x）=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，由已知利用周期公式即可求ω的值．
（Ⅱ）由f（A）=1可求$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，结合范围$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13}{6}π$，即可解得A的值，由余弦定理可得b2+c2-bc=3，又b+c=3，联立解得：b，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f（x）=a•b=${cos^2}ωx-{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωx•sinωx$=$cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，…（4分）
∵ω＞0，
∴$函数f（x）的周期T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}=π$，
∴ω=1…（5分）
（Ⅱ）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
又∵f（A）=1，
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，而$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13}{6}π$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$，
∴$A=\frac{π}{3}$，…（8分）
由余弦定理知$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，
∴b2+c2-bc=3，又b+c=3，联立解得：$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=2\end{array}\right.$，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（12分）
点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦定理，三角形面积公式以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
名校课堂系列答案
如图，在某一温度下，直径为0.2m，高为0.8m上端为活塞的圆柱体内某气体的压强p（N/m2）与体积V（m3）的函数关系式为p=$\frac{80}{V}$，而正压力F（N）与压强p（N/m2）的函数关系为F=pS，其中S（m2）为受力面积．设温度保持不变，要使气体的体积缩小为原来的一半．求活塞克服气体压力做多少功？| A． | （0，$\frac{2}{7}$） | B． | （$\frac{2}{7}$，$\frac{2}{3}$） | C． | （$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$） | D． | （$\frac{2}{7}$，$\frac{4}{5}$） |
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则$f（\frac{11π}{24}）$的值为（ ）| A． | $-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | B． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | -1 |