Question

【题目】如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形， 分别为线段， 的中点.

(1)求证： ||平面；

(2)四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接BD1，由中位线定理证明EF∥D1B，由线面平行的判定定理证明EF∥平面ABC1D1；
（2）由（1）和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是∠D1BC，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱AA1的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出BC⊥CD1，在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC，求出∠D1BC可得答案．

试题解析：

（1）连接，在中， 分别为线段的中点，∴为中位线，

∴，而面， 面，∴平面.

（2）由（1）知，故即为异面直线与所成的角.

∵四棱柱的外接球的表面积为，

∴四棱柱的外接球的半径，

设，则，解得，

在直四棱柱中，∵平面， 平面，

∴，在中， ，

∴，

∴异面直线与所成的角为.