Question

【题目】设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换.

（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；

①；

②.

（2）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）①不是等值域变换，②是等值域变换； （2）.

【解析】试题分析：（1）运用对数函数的值域和基本不等式，结合新定义即可判断①；运用二次函数的值域和指数函数的值域，结合新定义即可判断②；
（2）利用f（x）的定义域，求得值域，根据x的表达式，和t值域建立不等式，利用存在t1，t2∈R使两个等号分别成立，求得m和n．

试题解析：

（1）①，x>0，值域为R，

,t>0,由g(t)2可得y=f[g(t)]的值域为[1,+∞).

则x=g(t)不是函数y=f(x)的一个等值域变换；

②，即的值域为，

当时， ，即的值域仍为，所以是的一个等值域变换，故①不是等值域变换，②是等值域变换；

（2）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为， 的值域为，

，

恒有，解得.