Question

2．已知⊙O₁：（x-1）²+y²=4，⊙O₂：x²+（y-$\sqrt{3}$）²=9．
（1）求两圆公共弦所在的直线方程；
（2）求两圆的公共弦长．

Answer 1

分析 （1）两圆的一般式方程相减，再化简整理得两圆公共弦所在直线的方程；
（2）求出第一个圆的圆心到直线2x-2$\sqrt{3}$y-3=0的距离，再结合垂直于直径的弦的性质，即可得到两圆的公共弦长．

解答 解：（1）将两圆的方程相减，化简得：2x-2$\sqrt{3}$y-3=0，
∴公共弦所在直线的方程是2x-2$\sqrt{3}$y-3=0；
（2）圆O₁的圆心（1，0）到直线2x-2$\sqrt{3}$y-3=0的距离d=$\frac{1}{\sqrt{4+12}}$=$\frac{1}{4}$，
由此可得，公共弦的长l=2$\sqrt{4-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题给出两个定圆，求它们的公共弦所在直线方程并求弦长，着重考查了圆的标准方程与一般方程、圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．