Question

14．已知三棱锥P-ABC的体积为$\frac{8}{3}，PA⊥$底面ABC，且△ABC的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为8π．

Answer 1

分析 设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P-ABC球半径为R，由正弦定理，求出r=1，再由勾股定理得R=OP，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．

解答 解：设△ABC的外接圆的半径为r，则S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}ab×\frac{c}{2r}=\frac{abc}{4r}$，解得r=1
∵三棱锥P-ABC的体积为$\frac{8}{3}，PA⊥$底面ABC，且△ABC的面积为4．
∴$\frac{1}{3}×4×PA=\frac{8}{3}$，∴PA=2
如图，设球心为O，M为△ABC的外接圆的圆心，则OM=$\frac{1}{2}PA=1$
则三棱锥P-ABC的外接球的半径R=$\sqrt{O{M}^{2}+{r}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=8π．
故答案为：8π

点评 本题考查三棱锥的外接球体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、勾股定理的合理运用．属于中档题．