Question

6．已知函数f（x）=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+a的周期为π，
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上最大值与最小值，再根据最大值与最小值之和为3，求得a的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+a=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx+a+1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1+a的周期为π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+3•$\frac{π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）∈[a，3+a]，
由题意可得a+（3+a）=3，∴a=0．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．