题目内容
倾斜角为锐角的直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB且△OAB的面积为2
，则直线l方程为 ．
| 5 |
考点：抛物线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用OA⊥OB垂直判断出二直线的斜率的乘积为-1求得x1x2=4，设出直线的方程与抛物线方程联立根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，然后利用配方法求得|x1-x2|，代入三角形面积公式求得答案．
解答：
解：设直线AB的方程为y=kx-m（k＞0），
设A（x1，
），B（x2，-
），
∵OA⊥OB，
∴x1x2-2
=0，
∴x1x2=4，
y=kx-m（k＞0），代入抛物线y2=2x
得k2x2-（2km+2）x+m2=0，
则x1+x2=
，x1x2=
，
∵x1x2=4，
∴m=2k
∴|x1-x2|=
=
，
∵三角形的面积为S△AOB=
|m||x1-x2|=k•
=2
，
∴k=1，
∴直线AB的方程为y=x-2，
故答案为：y=x-2．
设A（x1，
| 2x1 |
| 2x2 |
∵OA⊥OB，
∴x1x2-2
| x1x2 |
∴x1x2=4，
y=kx-m（k＞0），代入抛物线y2=2x
得k2x2-（2km+2）x+m2=0，
则x1+x2=
| 2m+2 |
| k2 |
| m2 |
| k2 |
∵x1x2=4，
∴m=2k
∴|x1-x2|=
| ||
| k2 |
| ||
| k2 |
∵三角形的面积为S△AOB=
| 1 |
| 2 |
| ||
| k2 |
| 5 |
∴k=1，
∴直线AB的方程为y=x-2，
故答案为：y=x-2．
点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．
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A、
| ||
B、
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C、
| ||
D、
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