Question

9．已知F₁、F₂分别是椭圆E的左右焦点，A为左顶点，P为椭圆E上的点，以PF₁为直径的圆经过F₂，若$|{P{F_2}}|=\frac{1}{4}|{A{F_2}}|$，则椭圆E的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意可知：PF₂⊥F₁F₂，求得丨PF₂丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，则丨AF₂丨=$\frac{4{b}^{2}}{a}$，由丨AF₂丨=a+c，即可求得4c²+ac-3a²=0，两边同除以a²，由离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由以PF₁为直径的圆经过F₂，则PF₂⊥F₁F₂，则P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴丨PF₂丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，丨AF₂丨=$\frac{4{b}^{2}}{a}$，
由丨AF₂丨=a+c，即a+c=$\frac{4{b}^{2}}{a}$，则a²+ac=4（a²-c²），
整理得：4c²+ac-3a²=0，两边同除以a²，
则4e²+e-3=0，解得：e=-1或e=$\frac{3}{4}$，
由0＜e＜1，
∴椭圆E的离心率$\frac{3}{4}$，
故选：D，

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．