Question

12．已知函数f（x）=ae^x•cosx-xsinx，且曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与x-y=0平行．
（1）求a的值；
（2）当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$时，试探究函数y=f（x）的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用f′（0）=1，求a的值；
（2）当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$时，分类讨论，确定函数的单调性，即可探究函数y=f（x）的零点个数．

解答 解：（1）f′（x）=ae^x•（cosx-sinx）-sinx-xcosx，
∵f′（0）=1，∴a=1；
（2）①x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，f′（x）=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx，（e^x-x）cosx≥0，
（e^x+1）sinx≤0，函数单调递增，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上至多只有一个零点，
∵f（0）=1＞0，f（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上只有一个零点，
②x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）＞0恒成立，证明如下：
设g（x）=e^x-x，则g′（x）=e^x-1≥0，函数单调递增，
此时g（x）＞g（0）=0，e^x＞x，cosx≥sinx＞0，
∴e^x•cosx＞xsinx，∴f（x）＞0，函数无零点；
③x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，f′（x）=e^x•（cosx-sinx）-sinx-xcosx＜0，函数单调递减，
∴f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上至多只有一个零点，
∵f（$\frac{π}{4}$）＞0，f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，
∴f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上只有一个零点，
综上所述，当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$时，函数有两个零点．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．