Question

1．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-b，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$
（1）若方程f（x）=4有两个实根，求实数b的取值范围；
（2）若f（f（$\frac{5}{6}$））=4，求实数b的值．

Answer 1

分析 （1）对x讨论，当x＜1时，有3x-b=4，解得x；当x≥1时，2^x=4，解得x．由题意可得b的不等式，即可得到b的范围；
（2）先求f（$\frac{5}{6}$），再讨论b≤$\frac{3}{2}$，b＞$\frac{3}{2}$，可得b的方程，由指数的运算性质和一次方程的解法，即可得到所求b的值．

解答 解：（1）当x＜1时，f（x）=4即为3x-b=4，
解得x=$\frac{4+b}{3}$；
当x≥1时，2^x=4，解得x=2．
由题意可得$\frac{4+b}{3}$＜1，可得b＜-1，
则b的取值范围是（-∞，-1）；
（2）f（$\frac{5}{6}$）=$\frac{5}{2}$-b，
若$\frac{5}{2}$-b≥1，即b≤$\frac{3}{2}$，可得
f（f（$\frac{5}{6}$））=f（$\frac{5}{2}$-b）=2${\;}^{\frac{5}{2}-b}$=4，
即$\frac{5}{2}$-b=2，解得b=$\frac{1}{2}$成立；
若$\frac{5}{2}$-b＜1，即b＞$\frac{3}{2}$，可得
f（f（$\frac{5}{6}$））=f（$\frac{5}{2}$-b）=3（$\frac{5}{2}$-b）-b=4，
解得b=$\frac{7}{8}$＜$\frac{3}{2}$．
综上可得，b=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查分段函数的应用：解方程，注意运用分类讨论的思想方法，考查指数的运算性质和不等式解法，属于中档题．