Question

10．已知f′（x）是定义在R上的函数f（x）的导函数，f（0）=1，且f′（x）-2f（x）=0，则f（x）＞e的解集为（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，不妨设f（x）=e^2x，x∈R，则f（x）在R上是单调增函数，把不等式f（x）＞e化为e^2x＞e，从而求出不等式的解集．

解答 解：根据题意，不妨设f（x）=e^2x，x∈R，
则f′（x）=2e^2x，满足f（0）=e⁰=1，且f′（x）-2f（x）=0；
所以f（x）在R上是单调增函数；
所以不等式f（x）＞e等价于e^2x＞e，
∴2x＞1，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集是（$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了构造函数的解题方法，是综合性题目．