Question

11．对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$≥x²-x-11恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

• A． [-3，4]
• B． [0，2]
• C． [-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• D． [-4，5]

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质得出$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$最小值．根据对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$≥x²-x-11恒成立，可得x²-x-11≤9，即可得出实数x的取值范围．

解答 解：∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$=（sin²θ+cos²θ）（$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$）
=5+4tan²θ+$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$≥5+4=9，当且仅当tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∵对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$≥x²-x-11恒成立，
∴x²-x-11≤9，
∴-4≤x≤5，
∴实数x的取值范围是[-4，5]．
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．