Question

3．判断函数的奇偶性：
（1）f（x）=log₃$\frac{x-2}{x+2}$
（2）f（x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 （1）可得函数的定义域对称，由对数运算可得f（x）+f（-x）=0，可得奇函数；
（2）可得函数的定义域对称，由指数运算可得f（x）-f（-x）=0，可得偶函数．

解答 解：（1）由$\frac{x-2}{x+2}$＞0可得x＜-2或x＞2，
∴函数的定义域为（-∞，-2∪（2，+∞）
∵f（x）=log₃$\frac{x-2}{x+2}$，∴f（-x）=log₃$\frac{x+2}{x-2}$，
∴f（x）+f（-x）=log₃$\frac{x-2}{x+2}$+log₃$\frac{x+2}{x-2}$=log₃$\frac{x-2}{x+2}$•$\frac{x+2}{x-2}$=log₃1=0，
∴f（x）=-f（-x），函数f（x）为奇函数；
（2）函数的定义域为{x|x≠0}，
∵f（x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$），∴f（-x）=-x（$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-x（$\frac{{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$+$\frac{1}{2}$），
∴f（x）-f（-x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）+x（$\frac{{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）
=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）=0，即f（x）=f（-x），
∴函数f（x）为偶函数．

点评 本题考查函数奇偶性的判定，涉及函数的定义域和奇偶性的定义，属中档题．