Question

9．已知函数g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），将其图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到函数f（x）=acos²（x+$\frac{π}{3}$）+b的图象．
（1）求实数a、b的值；
（2）设函数φ（x）=g（x）-$\sqrt{3}$f（x），求函数φ（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据平移变换的规律，即可得到实数a、b的值；
（2）根据函数φ（x）=g（x）-$\sqrt{3}$f（x）化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：（1）由函数g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），将其图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，
得：$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
再向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到：$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$[cos2（x+$\frac{π}{3}$）+1]=$\frac{1}{2}$×2cos²（x+$\frac{π}{3}$）
由题意可得f（x）=acos²（x+$\frac{π}{3}$）+b=与函数y=cos²（x+$\frac{π}{3}$）相同．
∴a=1，b=0．
故得实数a、b的值分别为1和0．
（2）由函数φ（x）=g（x）-$\sqrt{3}$f（x），
即φ（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos（2x+\frac{2π}{3}）]$=sin（2x+$\frac{2π}{3}$$-\frac{π}{3}$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x$+\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x$+\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
可得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤$x$≤\frac{π}{12}+kπ$，k∈Z．
故得函数φ（x）的单调递增区间为[$-\frac{5π}{12}+kπ$，$\frac{π}{12}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了三角函数的平移变换，图象和性质的运用以及化简能力，属于中档题．