Question

如图。在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中点。

（I）求证：A₁B∥平面AMC₁；
（II）求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）试问：在棱A₁B₁上是否存在点N，使AN与MC₁成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（I）由线线平行证得线面平行 （II）（Ⅲ）.在棱上存在棱的中点，使与成角.

试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中，
是三角形的中位线，
所以∥,
又因平面，
所以∥平面. 
（Ⅱ）（法一）设直线与平面所成角为，
点到平面的距离为，不妨设，则，
因为,，
所以.                
因为，
所以,.
.
，
，.     
（法二）如图以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴，以的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则,,,，,,.设直线与平面所成角为，平面的法向量为.则有,,，
令,得，
设直线与平面所成角为，
则.               
（Ⅲ）假设直线上存在点，使与成角为.
设，则，.
设其夹角为，
所以，
，
，或（舍去），
故.所以在棱上存在棱的中点，使与成角.
点评：此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，第一问此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，难度比较大，计算要仔细．