Question

如图，在直棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90º，AA₁=2，E，F分别为AB、CB中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60º，则截面的面积为(    )．

A．3或1    B．1    C．4或1    D．3或4  

Answer 1

A

试题分析：根据截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，故需要分类讨论，利用截面为梯形，可以计算各边长，从而可求截面的面积.解：解：由题意，分类讨论：如右图，

截面为MNFE，延长EM，CN，AA₁，交于点D，∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E、F分别是AC、AB的中点，∴DE⊥EF，∴∠AED为截面与平面ABC所成的二面角，∴∠AED=60°，∵AE= AC=1，∴DE=2∵EF=
BC=1∴S_△DEF=×2×1=1，∵DA=6，∴DA₁=DA∴S_DMN=S_△DEF=，∴截面的面积为1
设截面EFN'M'在底面中的射影为EFPQ，则EF=1，M'Q=2，CE=1，∠M'EQ=60°，∴EQ=
∴PQ=∴射影EFPQ的面积为，∵截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，∴截面EFN'M'的面积为÷cos60°=3故答案为A
点评：本题以直三棱柱为载体，考查截面面积的计算，搞清截面图形是解题的关键．