Question

如图：在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，△EAD为正三角形，且平面EAD平面ABCD，EF∥AB, AB=2EF=2AD=4，.

（Ⅰ）求多面体EF-ABCD的体积；
（Ⅱ）求直线BD与平面BCF所成角的大小．

Answer 1

(1)5(2)

试题分析：解（Ⅰ）如图.取AD的中点G，正△EAD中, ，又AD=2，故 ，又因为平面EAD平面ABCD，所以，多面体EF-ABCD的体积，而四边形ABCD的面积，所以；设AB的中点为H，因为AB=2EF，所以FH∥AE，所以，所以，所以，故所求多面体EF-ABCD的体积是5

（Ⅱ）连接EH，由题设知EF=HB,又EF∥AB，所以四边形EHBF是平行四边形，连接GH，在△AGH中，AH=2AG=2，.故，即，又,所以平面EGH，
，又因为BF∥EH，所以AD BF，在平行四边形ABCD中，BC∥AD，所以BC⊥BF；又GH⊥AD， GH∥ BD，所以BD ⊥AD，而BC∥AD，故BC⊥BD，所以BC⊥平面DFB，BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面DFB，所以点D在平面BCF上的射影P点在BF上，所以∠FBD就是直线BD与平面BCF所成的角，在△BFD中， BF=HE=，又BC⊥平面DFB，所以，平面FBD⊥面ABCD，故F点在平面ABCD上的射影K在BD上，且FK=EG=，所以，故求直线BD与平面BCF所成角是。
（第（Ⅱ）小题也可用向量解答，略）
点评：解决的关键是利用空间中的几何体的分割法来得到不规则几何体的体积的求解，对于角的求解可以运用几何法也可以运用向量法来得到。属于基础题。