Question

7．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，其中a≠0
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程
（2）若函数f（x）是[1，+∞）上为增函数，求非零实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数f′（x），可得切线斜率，切点为（1，0），由点斜式可求切线方程；
（2）由f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，知f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数a后，转化为求函数的最值．

解答 解：（1）当a=1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=0，f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
∵函数f（x）是[1，+∞）上为增函数，
∴$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，
∴a≥1．

点评 该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立，考查转化思想．