Question

17．设函数f（t）=t+$\frac{1}{t}$，则
（1）f（t）=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{3}$，1]内的最大值和最小值分别是多少？
（2）f（t）=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{3}$，4]内的最大值和最小值分别是多少？

Answer 1

分析 （1）求导f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，从而确定函数的单调性，从而求最值．
（2）由（1）知，f（t）在[$\frac{1}{3}$，1]上是减函数，在[1，4]上是增函数，从而求最值．

解答 解：（1）∵f（t）=t+$\frac{1}{t}$，
∴f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
∴当t∈[$\frac{1}{3}$，1时，f′（t）≤0，
故f（t）在[$\frac{1}{3}$，1]上是减函数，
故f_max（t）=f（$\frac{1}{3}$）=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，f_min（t）=f（1）=1+1=2；
（2）由（1）知，
f（t）在[$\frac{1}{3}$，1]上是减函数，在[1，4]上是增函数，
且f（1）=2，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{10}{3}$，f（4）=4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$；
故f（t）=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{3}$，4]内的最大值为$\frac{17}{4}$，最小值为2．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法应用．