Question

6．已知函数f（x）=sin（x+φ）cosx的图象关于原点O（0，0）对称，试求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 先根据f（x）的图象关于原点对称得到f（x）=-f（-x），再由两角和与差的正弦公式展开化简，即可得解函数的解析式．

解答 解：∵f（x）的图象关于原点对称，∴f（x）=-f（-x）恒成立，
即sin（x+φ）cosx=-sin（-x+φ）cos（-x）恒成立．
∴cosx[sin（x+φ）-sin（x-φ）]=0恒成立，
∴2cos²xsinφ=0恒成立．
∴sinφ=0，∴φ=kπ（k∈Z），
∴f（x）=sin（x+kπ）cosx=±$\frac{1}{2}$sin2x，（k∈Z）．

点评 本题考查了三角形函数的性质，以及函数的奇偶性，属于基础题．