Question

9．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=2B，则$\frac{b}{c}$的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根据正弦定理，结合∠C=2∠B根据二倍角公式可得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{2sinBcosB}$，整理得到$\frac{b}{c}$=$\frac{1}{2cosB}$，再求得B的范围即可得到的取值范围．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∵C=2B，
∴$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{2sinBcosB}$，可得：$\frac{b}{c}$=$\frac{1}{2cosB}$，
当C为最大角时C＜90°，∴B＜45°，
当A为最大角时A＜90°，∴B＞30°，
∴30°＜B＜45°，
∴2cos45°＜2cosB＜2cos30°，可得：$\sqrt{2}$＜2cosB$＜\sqrt{3}$
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{1}{2cosB}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故选：A．

点评 本题主要考查正弦定理和二倍角公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用．