Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-

1

4

（n²-4n）=0．
（1）m和n分别是抛掷两枚骰子得到的点数，求上述方程有根的概率．
（2）若m，n∈R且0≤m≤6，0≤n≤6，求上述方程有根的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，方程有实根要满足判别式不小于0，即满足（m-3）²+（n-2）²≥4，根据点和圆的位置关系，即可求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可
（2）根据几何概型的概率求法，如图所示，即可求出

解答： 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，
方程x²+（m-3）x-

1

4

（n²-4n）=0．有实根要满足（m-3）²+（n²-4n）≥0，即（m-3）²+（n-2）²≥4，如图所示
表示在以（3，2）位圆心以2位半径的圆的外部或圆上，共有27种结果
故方程有根的概率P=

27

36

=

3

4

，
（2）试验的全部结果所构成的区域为Ω={（m，n）|0≤m≤6，0≤n≤6}．
构成事件A的区域为{（a，b）|（（m-3）²+（n-2）²≥4}．
如图四边形DEGF的面积为7×7=49，
而圆的面积为4π，
则事件A的区域的面积为49-4π，
∴所以所求的概率P=

49-4π

49

=1-

4π

49

点评：本题考查了古典概型和几何概型的概率的求法，关键是画出图象，属于中档题