Question

已知函数f（x）=（4x²+4ax+a²）

x

，其中a＜0．
（1）当a=-4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-4时，先求导，在根据导数求出f（x）的单调递增区间；
（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．

解答： 解；（1）当a=-4时，f（x）=（4x²+4ax+a²）

x

，
∴f（x）=（4x²-16x+16）

x

，
∴f′（x）=（8x-16）

x

+（4x²-16x+16）

x

2x

=2

x

（5x+

4

x

-12）=

2 x

x

(5x2-12x+4)，
∵f′（x）＞0，x≥0，
∴5x²-12x+4＞0，
解得，0≤x＜

2

5

，或x＞2，
∴当a=-4时，f（x）的单调递增区间为[0，

2

5

）和（2，+∞）；

（2）∵f（x）=（4x²+4ax+a²）

x

，
∴f′(x)=

x

2x

(20x2+12ax+a2)；
令f′（x）=0．解得x=-

a

10

，或x= -

a

2

，
当f′（x）＞0时，x∈（0，-

a

10

）或(-

a

2

，+∞)，此时f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，x∈（-

a

10

，-

a

2

），此时f（x）单调递减，
①当-

a

10

≥4，即a≤-40，f（x）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=-2-2

2

，不符合舍去
②当-

a

2

≤1，即-2≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=-2-2

2

，不符合舍去
③当-

a

10

≤1，-

a

2

≥4即-10≤a≤-8时，f（x）在区间[1，4]为减函数，由f（4）=8，解得a=-10，
④当1＜-

a

10

＜4，即-40＜a＜-10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=-2-2

2

，或a=-6，a=-10，不符合舍去，
⑤当1＜-

a

2

＜4，即-8＜a＜-4时，由f（-

a

2

）=8，无解．
综上所述，a=-10．

点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题