已知抛物线C:x2=2py.过点F作直线l交抛物线C于A.B两点．椭圆E的中心在原点.焦点在x轴上.点F是它的一个顶点.且其离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程,(2)经过A.B两点分别作抛物线C的切线l1.l2.切线l1与l2相交于点M．证明:AB⊥MF,(3)椭圆E上是否存在一点M′.经过点M′作抛物线C的两条切线M� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）分别求抛物线C和椭圆E的方程；
（2）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l₁，l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明：AB⊥MF；
（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′，M′B′（A′，B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出点M′及两切线方程，若不存在，试说明理由．

分析（1）由抛物线的焦点可得p=2，进而得到抛物线的方程；再由椭圆的离心率和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），代入抛物线方程x²=4y，运用韦达定理，再由切线的斜率求得切线的方程，求得交点M的坐标，求得向量FM，AB的坐标，运用向量垂直的条件，即可得证；
（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=-1上，又直线y=-1与椭圆E有唯一交点，故M′的坐标为M′（0，-1），设出过点M′且与抛物线C相切的切线方程，令x=0，y=-1，求得切点坐标，不妨取A′（-2，1），B′（2，1），即可判断，进而得到所求切线的方程．

解答解：（1）抛物线C：x²=2py （p＞0）的焦点为F（0，1），
可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
可得抛物线C的方程为x²=4y；
设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞b＞0），半焦距为c．
由已知可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1．
所以椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）证明：显然直线l的斜率存在，
否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，
故可设直线l的方程为y=kx+1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
代入抛物线方程x²=4y，消去y并整理得x²-4kx-4=0，∴x₁x₂=-4．
∵抛物线C的方程为y=$\frac{1}{4}$x²，求导得y′=$\frac{1}{2}$x，
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），y-y₂=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
解得两条切线l₁，l₂的交点M的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），即M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，-1），
$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，-2）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=$\frac{1}{2}$（x₂²-x₁²）-2（$\frac{1}{4}$x₂²-$\frac{1}{4}$x₁²）=0，
∴AB⊥MF．
（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=-1上，
又直线y=-1与椭圆E有唯一交点，故M′的坐标为M′（0，-1），
设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y-y₀=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），其中点（x₀，y₀）为切点．
令x=0，y=-1，得-1-$\frac{1}{4}$x₀²=$\frac{1}{2}$x₀（0-x₀），解得x₀=2或x₀=-2，
故不妨取A′（-2，1），B′（2，1），即直线A′B′过点F．
综上所述，椭圆E上存在一点M′（0，-1），
经过点M'作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′（A′、B′为切点），能使直线A′B′过点F．
此时，两切线的方程分别为y=-x-1和y=x-1．