Question

9．在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是（　　）

• A． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{5\sqrt{11}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{462}}}{4}$
• D． $2\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由题意画出适合题意的四面体，求出每种情况的体积比较得答案．

解答 解：由题意可知，由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况：

左图中，由于3²+4²=5²，即图中AD⊥平面BCD，
∴V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}×4=\frac{8\sqrt{2}}{3}$；
中间图，由于此情况的底面与上相同，但AC不与底垂直，故高＜4，于是得  V₂＜V₁；
右图中，高＜2，底面积$\frac{1}{2}×5×\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}=\frac{5}{4}\sqrt{11}$．
∴V₃＜$\frac{1}{3}×\frac{5}{4}\sqrt{11}=\frac{5}{6}\sqrt{11}$＜$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
∴最大体积为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了棱锥的体积和表面积，考查了学生的空间想象能力，考查了分类讨论的数学思想方法，此题是中档题．