Question

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四个根组成以

1

2

为首项的等比数列，则

m

n

等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  3

  2

  或

  2

  3

• C、

  2

  3

• D、以上都不对

Answer 1

考点：等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：设方程x²-mx+2=0两根分别为x₁，x₄，x²-nx+2=0两根分别为x₂，x₃，由韦达定理得：x₁x₄=2，x₂x₃=2，x₁+x₄=m，x₂+x₃=n，由此能求出结果．

解答： 解：设方程x²-mx+2=0两根分别为x₁，x₄，
x²-nx+2=0两根分别为x₂，x₃，
由韦达定理得：
x₁x₄=2，x₂x₃=2，
x₁+x₄=m，x₂+x₃=n，
若x=

1

2

是方程x²-mx+2=0的根，则x₄=

2

x1

=

2

1 2

=4，
设公比为q，

x4

x1

=q³=

4

1 2

=8，解得q=2，
∴

m

n

=

x1+x4

x2+x3

=

x1+x1q3

x1q+x1q2

=

1+q3

q+q2

=

1+8

2+4

=

3

2

．
同理，若x=

1

2

是方程x²-nx+2=0的根，解得

m

n

=

2

3

．
故选：B．

点评：本题考查两数比值的求法，是中档题，解题时要注意韦达定理和等比数列的性质的合理运用．