Question

3．如图，圆O的半径为2，点A满足OA=1．设点B，C为圆O上的任意两点，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 0
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．

解答 解：$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$，
=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$-|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cosθ，
=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$-|$\overrightarrow{BC}$|•cosθ，
≥$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$-|$\overrightarrow{BC}$|=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}$-1）²-$\frac{1}{2}$
∵BC∈（0，2），
当BC=1时，有最小值，即$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$的最小值是-$\frac{1}{2}$，
故选：C

点评 本题考查了向量的数量积和二次函数的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题