题目内容

1．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x}&{x∈（{-∞，2}）}\\{3f（{x-2}）}&{x∈[{2，+∞}）}\end{array}}$，则函数g（x）=f（x）-cosπx在区间[0，6]内所有零点的和为（　　）
A．18B．20C．36D．40

分析 在同一个坐标系中作出函数f（x）和y=cosπx在区间[0，6]的图象，由图象的局部对称可得结果．

解答 解：当0≤x＜2时，f（x）=2x-x2，
当2≤x≤4时，f（x）=3f（x-2）=3（x-2）（4-x），
当4≤x≤6时，f（x）=3f（x-2）=9f（x-4）=9（x-4）（6-x），
在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=cosπx的图象，如图：
由图可知可得它们有6个交点，分别关于x=1对称，关于x=3对称，
关于x=5对称，
则所有交点的横坐标和为2+6+10=18．
故选：A．

点评 本题考查函数零点与方程的根以及函数图象的关系．解题关键在于正确作出函数图象，利用对称性求解．属于较难题．

练习册系列答案
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18．已知△ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=$\sqrt{37}$，则△ABC的面积为（　　）
A．2$\sqrt{3}$B．3$\sqrt{3}$C．6$\sqrt{3}$D．12$\sqrt{3}$
12．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）曲线C1横坐标扩大为原来的两倍，纵坐标扩大为原来的三倍得到曲线C2．
（1）以原点为极点，x轴正半轴为极轴且单位长度一样的极坐标系中，求曲线C2的极坐标方程
（2）若M，N两点在曲线C2上，且OM⊥ON．求$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$的值．
（3）已知C3的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+t\end{array}\right.（t为参数），P为{C_2}上的一点，求点P到直线{C_3}$的最大距离．
9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x≤0}\\{-（x-1）^{2}，x＞0}\end{array}\right.$，使f（x）≥-1成立的x的取值范围是（　　）
A．[-4，2）B．[-4，2]C．（0，2）D．（-4，2]
16．数列{an}满足a1=1，an+1=3an（n∈N*），则a5等于（　　）
A．27B．-27C．81D．-81
3．如图，圆O的半径为2，点A满足OA=1．设点B，C为圆O上的任意两点，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$的最小值是（　　）
A．2B．0C．-$\frac{1}{2}$D．-$\frac{1}{4}$
10．已知全集U=R，集合A={x|y=log2（-x2+2x）}，B={y|y=1+$\sqrt{2x+1}$}，那么A∩（∁UB）=（　　）
A．{x|0＜x＜1}B．B{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}
7．某高校为调查1000名学生每周的自习时间（单位：小时），从中随机抽查了100名学生每周的自习时间，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是700．
6．函数y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$的图象大致是（　　）
A．B．C．D．

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