Question

8．有一块半径为R（R是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O是圆心，A、B在圆的直径上，C，D，E在半圆周上，如图，设∠BOC=θ，征地面积为f（θ），当θ满足g（θ）=f（θ）+R²sinθ取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角θ和g（θ）的最大值分别为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$，R²（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$）
• B． $\frac{π}{4}$，R²（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$）
• C． $\frac{π}{4}$，R²（1+$\sqrt{2}$）
• D． $\frac{π}{6}$，R²（1+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 连结OE，用θ表示出BC，OB，代入梯形面积公式即可得出f（θ），则g（θ）=R²（1+sinθ）cosθ+R²sinθ=R²（sinθ+cosθ+sinθcosθ），令sinθ+cosθ=t，利用换元法求出g（θ）的最值及对应的θ．

解答 解：连结OE，在Rt△OBC中，BC=Rsinθ，OB=Rcosθ，
∴S_梯形OBCE=$\frac{1}{2}$（Rsinθ+R）Rcosθ=$\frac{1}{2}$R²（1+sinθ）cosθ，
∴f（θ）=2S_梯形OBCE=R²（1+sinθ）cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
则g（θ）=R²（1+sinθ）cosθ+R²sinθ=R²（sinθ+cosθ
+sinθcosθ），
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），则t∈（1，$\sqrt{2}$]，
sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴g（θ）=R²（$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t）=$\frac{{R}^{2}}{2}$[（t+1）²-2]，
令h（t）=$\frac{{R}^{2}}{2}$[（t+1）²-2]，则h（t）在（1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
∴当t=$\sqrt{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$时，h（t）取得最大值（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$）R² ．
故选：B．

点评 本题考查了函数模型的应用，考查函数最值的计算及其几何意义，属于中档题．