Question

20．已知F₁，F₂是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左，右焦点，点M在E上，MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，则E的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由条件MF₁⊥MF₂，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，列出关系式，从而可求离心率．

解答 解：由题意，M为双曲线左支上的点，则MF₁=$\frac{{b}^{2}}{a}$，MF₂=$\sqrt{4{c}^{2}+（\frac{{b}^{2}}{a}）^{2}}$，
∴sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{\sqrt{4{c}^{2}+\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，可得：2b⁴=a²c²，即$\sqrt{2}$b²=ac，又c²=a²+b²，
可得$\sqrt{2}$e²-e-$\sqrt{2}=0$，e＞1，解得e=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系．