Question

5．如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=$\frac{1}{2}$CD=1
（1）求证：BC⊥平面ABP；
（2）直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过BC⊥PO，AB⊥BC，PO∩AB=O，即可证明BC⊥平面ABP；
（2）取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，由平面几何知识能证明DE∥平面PBC，即可得解．

解答 （本题满分为14分）
证明：（1）∵PO⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PO，
又∵BC⊥AB，AB∩PO=O，AB?平面ABP，PO?平面ABP，
∴BC⊥平面ABP，…6分
（2）点E即为所求的点，即点M与点E重合．
取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，
∵EA=1，PO=2，
∴NO=1，
又EA与PO都与平面ABCD垂直，
∴EF∥AB，
∴F为PB的中点，
∴NF=21OB=1，
∴EF=2，
又CD=2，EF∥AB∥CD，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴DE∥CF，
∵CF?平面PBC，DE?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
∴当M与E重合时即可．…14分．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点的判断，考查空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，属于中档题．