Question

18．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列，a₁=1，b₁=8，a₂+b₂=18，a₃+b₃=35，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{b}_{n}{S}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}为公差d的等差数列，数列{b_n}为公比q的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d=1，q=2，进而得到所求通项公式；
（2）求出c_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{b}_{n}{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}•n（n+1）}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}为公差d的等差数列，数列{b_n}为公比q的等比数列，
由a₁=1，b₁=8，a₂+b₂=18，a₃+b₃=35，
可得1+d+8q=18，1+2d+8q²=35，
解得d=1，q=2，
则a_n=1+n-1=n，b_n=8•2n-1=2ⁿ⁺²（n∈N*）；
（2）c_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{b}_{n}{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+2}•\frac{1}{2}n（n+1）}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}•n（n+1）}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，
则前n项和T_n=$\frac{1}{1•2}$-$\frac{1}{2•{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•{2}^{2}}$-$\frac{1}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．