Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（1）求f（x）的极值；
（2）当a=0时，对于?x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求函数定义域、导数，按照a≥0，a＜0两种情况讨论f′（x）的符号变化，由极值定义可得结论；
（2）当a=0时，令φ（x）=g（x）-f（x）-2=e^x-lnx-2，利用导数表示出φ（x）的最小值，只需说明最小值大于零即可．

解答： （1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+

1

x

（x＞0）．
（i）当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（x）没有极值；
（ii）当a＜0时，f′（x）=

a(x+ 1 a )

x

，
当x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＞0；当x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，
∴当x=-

1

a

时，f（x）取得极大值f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）．
（2）证明：当a=0时，f（x）=lnx，
令φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=e^x-lnx-2，φ′（x）=e^x-

1

x

．
φ″（x）=e^x+

1

x2

＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴φ′（x）在（0，+∞）上单调递增．
设φ′（x）=0的根为x=t，则e^t=

1

t

，即t=e^-t．
当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上单调递减；
当x∈（t，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上单调递增．
故φ（x）_min=φ（t）=e^t-lnt-2=e^t-lne^-t-2=e^t+t-2．
由φ′（1）=e-1＞0，φ′（

1

2

）=

e

-2＜0，得t∈（

1

2

，1），
∵φ（t）=e^t+t-2在（

1

2

，1）上单调递增，
∴φ（x）_min=φ（t）＞φ（

1

2

）=

e

+

1

2

-2＞0．
∴g（x）-f（x）＞2．即f（x）＜g（x）-2．

点评：该题考查恒成立问题、利用导数研究函数的极值，考查分类整合思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．注意认真体会（Ⅲ）问中二次求导的应用．