Question

如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB=2BF，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：CF∥平面ADE；
（2）求二面角C-EF-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用平面BCF中，有两条相交直线BC和BF平行于两一个平面中的两条相交直线 AD 和DE，得到平面
BCF∥平面ADE．
（2）连接AC，与BD交于M，取EF的中点N，连接MN，CN，则CM⊥平面EFBD，∠CNM是二面角C-EF-B的平面角，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，∴BC∥AD，BF∥DE，
这样，平面BCF中，有两条相交直线BC，BF平行于两一个平面中的两条相交直线AD，DE，
故有平面BCF∥平面ADE，
∴CF∥平面ADE．
（2）解：设BF=1，则AB=2，AC=2

2

，连接AC，与BD交于M，取EF的中点N，连接MN，CN，
则CM⊥平面EFBD，
∴∠CNM是二面角C-EF-B的平面角，

∵MN=1，CM=

2

，
∴CN=

3

，
∴cos∠CNM=

MN

CN

=

3

3

，
即二面角C-EF-B的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查证明线面平行、面面平行的判定定理，考查二面角C-EF-B的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．