Question

已知．
（1）曲线y=f（x）在x=0处的切线恰与直线垂直，求的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求证：．

Answer 1

（1）；（2）当，即时，，当，即时，，当，即时，；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对求导，将代入得到切线的斜率，由已知切线与直线垂直得出方程，解出的值；第二问，先对求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出，因为，所以数形结合，得，解得，数形结合得出两组点的横坐标的关系，又利用，得出，，进行转换得到所求证的不等式.
试题解析：（1）由，
得：，则，
所以，得.
（2）令，得，即.
由，得，由，得，
∴在上为增函数，在为减函数.
∴当，即时，.
当，即时，.
当，即时，.
（3）由（2）知，，
∵，∴，
∴，得，∴，且.
得，又，，
∴.