Question

已知函数，函数．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为，求证：当时，.

Answer 1

（Ⅰ）的单调递增区间是；的单调递减区间是；
（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.

试题分析：（Ⅰ） 利用导数值非负，得的单调递增区间是；利用导数值非正，得到的单调递减区间是；
（Ⅱ）利用在是单调递增函数，则恒成立，只需恒成立，转化成
，利用，得到.
（Ⅲ）依题意不难得到，=1+++，
根据时， =+在上为增函数，
可得，从而;
构造函数，利用“导数法”得到, 从而不等式成立.
应用“累加法”证得不等式.
本题解答思路比较明确，考查方法较多，是一道相当典型的题目.
试题解析：（Ⅰ）=，所以，,
因为，，所以，令，，
所以的单调递增区间是；的单调递减区间是；4分
（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立
即，因为，所以故.                .7分
（Ⅲ）设数列是公差为1首项为1的等差数列，所以，=1+++，
当时，由（Ⅱ）知：=+在上为增函数，
=-1，当时，，所以+，即
所以;
令，则有，当，有
则,即,所以时,
所以不等式成立.
令且时，
将所得各不等式相加，得

即
（且）．                   13分