Question

20．已知命题p：方程x²+my²=2表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：不等式4x²+4（m-2）x+1＞0在x∈R上恒成立，又p∨q为真，?q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题为真命题的等价条件，然后根据复合命题真假之间的关系建立条件关系即可．

解答 解：∵p∨q为真，?q为真，
∴q为假命题，p是真命题，
若方程x²+my²=2表示焦点在y轴上的椭圆，
则等价为方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{m}}$=1表示焦点在y轴上的椭圆，
即$\frac{2}{m}$＞2，解得0＜m＜1，即p：0＜m＜1，
不等式4x²+4（m-2）x+1＞0在x∈R上恒成立，
则判别式△=16（m-2）²-16＜0，
即（m-2）²＜1，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3，￢q：m≥3或m≤1，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{m≥3或m≤1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜1，
即实数m的取值范围是（0，1）．

点评 本题主要考查复合命题的真假关系的判断和应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．