Question

1．已知函数f（x）=e^-x-$\frac{1}{1+x}$．
（Ⅰ）证明：当x∈[0，3]时，${e^{-x}}≥\frac{1}{1+9x}$．
（Ⅱ）证明：当x∈[2，3]时，$-\frac{2}{7}＜f（x）＜0$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证${e^{-x}}≥\frac{1}{1+9x}$，即证e^x≤1+9x，令F（x）=e^x-9x-1，则F′（x）=e^x-9，推导出F（x）在[0，3]上的最大值为max{F（0），F（3）}．由此能证明当x∈[0，3]时，${e^{-x}}≥\frac{1}{1+9x}$．
（Ⅱ） 当x∈[2，3]时，f（x）=${e}^{-x}-\frac{1}{x+1}$≥$\frac{1}{1+9x}-\frac{1}{1+x}$，令$t（x）=\frac{1}{1+9x}-\frac{1}{1+x}$，则t′（x）=$\frac{72{x}^{2}-8}{（1+9x）^{2}（1+x）^{2}}$≥0，x∈[2，3]，由此能证明f（x）＞-$\frac{2}{7}$，证明f（x）＜0，即证e^x＞x+1，令h（x）=e^x-（x+1），则h′（x）=e^x-1＞0，由此能证明h（x）=e^x-（x+1）≥e²-3＞0．

解答 （本小题满分15分）
证明：（Ⅰ）要证${e^{-x}}≥\frac{1}{1+9x}$，也即证e^x≤1+9x．…（2分）
令F（x）=e^x-9x-1，则F′（x）=e^x-9．令F′（x）＞0，则x＞2ln3．
∴当0≤x＜2ln3时，有F′（x）＜0，∴F（x）在[0，2ln3]上单调递减，
 2ln3＜x≤3时，有F′（x）＞0，∴F（x）在[2ln3，3]上单调递增．…（5分）
∴F（x）在[0，3]上的最大值为max{F（0），F（3）}．
又F（0）=0，F（3）=e³-28＜0．
∴F（x）≤0，x∈[0，3]成立，即e^x≤1+9x，x∈[0，3]成立．
∴当x∈[0，3]时，${e^{-x}}≥\frac{1}{1+9x}$．…（7分）
（Ⅱ） 由 （I） 得：当x∈[2，3]时，f（x）=${e}^{-x}-\frac{1}{x+1}$≥$\frac{1}{1+9x}-\frac{1}{1+x}$，
令$t（x）=\frac{1}{1+9x}-\frac{1}{1+x}$，
则t′（x）=-（1+9x）^-2•9+（1+x）^-2
=$\frac{1}{（1+x）^{2}}-\frac{9}{（1+9x）^{2}}$
=$\frac{（1+9x）^{2}-9（1+x）^{2}}{（1+9x）^{2}（1+x）^{2}}$
=$\frac{72{x}^{2}-8}{（1+9x）^{2}（1+x）^{2}}$≥0，x∈[2，3]．（9分）
∴t（x）在[2，3]上单调递增，即t（x）≥t（2）=-$\frac{16}{57}＞-\frac{16}{56}$=-$\frac{2}{7}$，x∈[2，3]．
∴f（x）＞-$\frac{2}{7}$得证．…（12分）
下证f（x）＜0．即证e^x＞x+1，
令h（x）=e^x-（x+1），则h′（x）=e^x-1＞0，∴h（x）在[2，3]上单调递增，
∴h（x）=e^x-（x+1）≥e²-3＞0，得证．
∴当x∈[2，3]时，$-\frac{2}{7}＜f（x）＜0$．…（15分）

点评 本题考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调区间、极值、最值、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．