Question

16．如图，四边形ABCD是矩形，四边形BCEF是直角梯形，平面ABCD⊥平面BCEF，∠FBC是直角，AB=1，BC=BF=2，CE=4，P、Q、R分别是AF、DF、DE的中点．
（1）求证：PQ∥平面BCEF；
（2）求二面角P-QR-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理得PQ∥AD，由矩形性质得AD∥BC，由此能证明PQ∥平面BCEF．
（2）以C为原点，CB为x轴，CE为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PQR的法向量和平面QRE的法向量，由此利用向量法能求出二面角P-QR-E的余弦值．

解答 （1）证明：∵P、Q分别是AF、DF的中点，∴PQ∥AD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴PQ∥BC，
∵PQ?平面BCEF，BC?平面BCEF，
∴PQ∥平面BCEF．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，四边形BCEF是直角梯形，平面ABCD⊥平面BCEF，∠FBC是直角，
∴以C为原点，CB为x轴，CE为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（2，0，1），F（2，2，0），P（2，1，$\frac{1}{2}$），
D（0，0，1），E（0，4，0），R（0，2，$\frac{1}{2}$），Q（1，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{QP}$=（1，0，0），$\overrightarrow{QR}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{QE}$=（-1，3，-$\frac{1}{2}$），
设平面PQR的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QP}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QR}=-x+y=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面QRE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QR}=-a+b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QE}=-a+3b-\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，4），
设二面角P-QR-E的平面角为θ，
则cosθ=-|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=-|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{4}{\sqrt{18}}$|=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角P-QR-E的余弦值为-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．