Question

8．在正四棱锥P-ABCD中，AB=2．
（1）若直线PB与底面所成角为$\frac{π}{4}$，求二面角A-PB-C的大小．
（2）若二面角P-BC-D的大小为$\frac{π}{4}$，求面PAD与面PBC所成角的大小，并求点A到PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由直线PB与底面所成角为$\frac{π}{4}$，AB=2，得到PO=BO=$\sqrt{2}$，由此利用向量法能求出二面角A-PB-C的大小．
（2）由二面角P-BC-D的大小为$\frac{π}{4}$，求出OE=PO=1，求出平面PAD的法向量和平面PBC的法向量，由此利用向量法能求出面PAD与面PBC所成角的大小和点A到PBC的距离．

解答 解：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OP，
∵正四棱锥P-ABCD中，AC⊥BO，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵直线PB与底面所成角为$\frac{π}{4}$，AB=2，
∴∠PBO=$\frac{π}{4}$，∴PO=BO=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，
∴A（$\sqrt{2}，0，0$），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{2}$，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{2}$，0，-$\sqrt{2}$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}b-\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-\sqrt{2}a-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
设二面角A-PB-C的平面角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1-1-1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$|=$\frac{1}{3}$，
∴二面角A-PB-C的大小为arccos$\frac{1}{3}$．
（2）取BC中点E，连结OE，PE，
∵二面角P-BC-D的大小为$\frac{π}{4}$，∴$∠PEO=\frac{π}{4}$，
∵正四棱锥P-ABCD中，AB=2，∴OE=PO=$\frac{1}{2}AB$=1，
A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{2}，0，-1$），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
$\overrightarrow{PC}$=（$-\sqrt{2}，0，-1$），$\overrightarrow{PD}$=（0，-$\sqrt{2}$，-1），
设平面PAD的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}{x}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PD}=-\sqrt{2}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${x}_{1}=\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{p}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，2），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{q}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}{y}_{2}-{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{PC}=-\sqrt{2}{x}_{2}-{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取x₂=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{q}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，-2）
设面PAD与面PBC所成角的大小为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{p}，\overrightarrow{q}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{q}|}$|=|$\frac{2+2-4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$|=0，
∴$θ=\frac{π}{2}$，即面PAD与面PBC所成角的大小为$\frac{π}{2}$．
点A到PBC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{|2+0+2|}{\sqrt{8}}$=$\sqrt{2}$．
∴点A到PBC的距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二面角的大小和点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．