Question

11．已知等比数列{a_n}的公比为q，S_n是{a_n}的前n项和，且满足：a_n+1=a₁S_n+1（n∈N^*），则下列结论正确的是（　　）

• A． a₁=2
• B． a₁₂＜2015
• C． q=2
• D． S₁₀＞2015

Answer 1

分析 由已知条件推导出等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，由此能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}的公比为q，S_n是{a_n}的前n项和，且满足：a_n+1=a₁S_n+1（n∈N^*），
∴a₂=${{a}_{1}}^{2}+1$，${a}_{3}={a}_{1}（{a}_{1}+{{a}_{1}}^{2}+1）+1={{a}_{1}}^{3}+{{a}_{1}}^{2}$+a₁+1，
∴（${{a}_{1}}^{2}+1$）²=a₁（${{a}_{1}}^{3}+{{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}+1$），
解得a₁=1，故A错误；
当a₁=1时，a₂=a₁•a₁+1=1+1=2，
q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$，故C正确；
${a}_{12}=1×{2}^{11}$=2048＞2015，故B错误；
${S}_{10}=\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$=1023＜2015，故D错误．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．