如图.在平面直角坐标系xOy中.单位圆O与y轴负半轴交于点O'.过点O'作与x轴平行的直线AB.射线O'P从O'A出发.绕着点O'逆时针方向旋转至O'B.在旋转的过程中.记∠AO'P=x.O'P所经过的在单位圆O内区域的面积为S．(1)如果$x=\frac{π}{2}$.那么S=$\frac{π}{2}$, 的以下两个结论:①对任意$x∈$.都有$f+f=π$,②对任� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆O与y轴负半轴交于点O'，过点O'作与x轴平行的直线AB，射线O'P从O'A出发，绕着点O'逆时针方向旋转至O'B，在旋转的过程中，记∠AO'P=x（0＜x＜π），O'P所经过的在单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S．
（1）如果$x=\frac{π}{2}$，那么S=$\frac{π}{2}$；
（2）关于函数S=f（x）的以下两个结论：
①对任意$x∈（0，\frac{π}{2}）$，都有$f（\frac{π}{2}-x）+f（\frac{π}{2}+x）=π$；
②对任意x₁，x₂∈（0，π），且x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$．
其中正确的结论的序号是①．

分析（1）由题意$x=\frac{π}{2}$，O'P所经过的在单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S为半个单位圆．
（2）①对任意$x∈（0，\frac{π}{2}）$，根据图形可得f（x）+f（π-x）刚好为单位圆的面积π，$0＜\frac{π}{2}-x＜\frac{π}{2}$⇒$f（\frac{π}{2}-x）+f（\frac{π}{2}+x）=π$；
②依题意可得函数S=f（x）单调增，即可判定．

解答解：（1）由题意，圆O的半径为1，如果$x=\frac{π}{2}$，那么S=$\frac{1}{2}×$π×1²=$\frac{π}{2}$；
（2）①对任意$x∈（0，\frac{π}{2}）$，根据图形可得f（x）+f（π-x）刚好为单位圆的面积π，∵$0＜\frac{π}{2}-x＜\frac{π}{2}$⇒$f（\frac{π}{2}-x）+f（\frac{π}{2}+x）=π$，故①正确；
②依题意可得函数S=f（x）单调增，所以对任意x₁，x₂∈（0，π），且x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$．错
故答案为：①

点评本题考查了函数的性质与实际问题的结合，通过几何图形得到函数的对称性、单调性是关键．